Deriva del topónimo Asuni, pequeña localidad de la provincia de Oristano con documentación histórica que se remonta a la época cartaginesa y romana. El nombre del pueblo tiene origen incierto: el canónigo G. Spano y otros estudiosos lo derivan de la raíz fenicia asun, con los significados de "daño", "lugar insalubre" o "fuego". En los documentos medievales el apellido aparece siempre precedido de "de", indicando procedencia. La variante Azuni es también de origen sardo y está documentada en la obra del geógrafo Ioannis Farcisci Fara (siglo XVI). Personaje histórico destacado: Domenico Alberto Azuni (Sassari 1749 - Cagliari 1827), jurista experto en derecho administrativo y marítimo, presidente de la Corte Imperial de Apelación de Génova y Caballero del Imperio en 1810. El apellido Asuni está presente en 48 municipios italianos, 21 de ellos en Cerdeña: Sinnai (133 casos), Burcei (62), Cagliari (38), Quartu Sant'Elena (32), entre otros.