Pueden derivar del praenomen latino Gaius, el mismo de Julio César, o de apodos de origen provenzal vinculados a una particular alegría del fundador del linaje. Una última hipótesis, menos probable, los vincula a un apodo del término godo gahil- (ayudar).;Gai tiene una zona importante en Piemonte, especialmente en Torino, y también en Asti y su zona y en la zona de Torino; una zona toscana en Pistoia, con presencia también en Livorno, Firenze y Sansepolcro en la zona de Arezzo