Los autores coinciden en que el apellido se formó a partir del nombre personal de origen germánico Haimirik o Heimrich, compuesto por haimi/heim ("patria") y rikia/erich ("poderoso, señor, príncipe, rey"), con el significado de "señor de la patria" o "soberano". El nombre fue latinizado como Henricus e italianizado como Enrico.

E. De Felice precisa que el nombre, en la forma de tradición ostrogoda y franca Haimeric o Haimirich, continúa en el italiano Americo. La forma del alemán antiguo Haimrich, Hainrich y luego Heinrich, difundida por las cancillerías imperiales en la latinización Henricus, está en la base del tipo Enrico que se afirmó en Italia entre los siglos X y XIII por el prestigio de los reyes y emperadores alemanes de este nombre.

De Felice señala que Arrigo es una variante principalmente toscana, y que Enriquez —con las formas adaptadas a la fonética italiana Enriques y Erriquez— es un préstamo directo del correspondiente apellido español Enríquez.

De Felice agrega que el apellido está difundido en el tipo Arrigo desde Toscana hasta la Italia noroccidental; en el tipo Enrico y Errico en el sur peninsular —especialmente, con Errichiello o Arrichiello, en el área de Napoli—; y en el tipo Endrigo, Endrici, Endrizzi principalmente en el Trentino.

E. Rossoni coincide en la derivación germánica y agrega que en el siglo XIII la noble familia florentina de los Arrighi estuvo en el origen de la disputa entre güelfos y gibelinos. En el siglo XIV los Arrighi aparecen entre las familias acomodadas de Lucignano (zona de Arezzo). En el XVI ocupan posiciones de relieve en San Miniato (zona de Pisa). Destaca también, en el XVII, al escultor en madera Alessandro Arrighi, y en el XVIII al arquitecto Antonio Arrighi, ambos de la zona de Cremona.